Berechnung von Modelldampfturbinen

Turbo-Georg · 29 Januar 2012, 20:46:01

Liebe Freunde der Modell-Dampfturbine,
ich bin sehr überrascht, welches Interesse weiterhin meine alten Beiträge finden. Wie könnte es sonst sein, dass mich nach wie vor Anfragen hierzu erreichen.
Ich akzeptiere die Gründe, warum solche Fragen nicht im Forum gestellt werden. Ich habe mir aber zur Gewohnheit gemacht, die Antworten zu den interessantesten Fragen mit Zustimmung der Fragesteller ins Forum zu stellen.

Hier die Antwort zu der, etwas komplexeren Frage: ,,Wie ermittelt man die Dampfgeschwindigkeiten an den Schaufeln eines Turbinenrades, wie zeichnet man einen Geschwindigkeitsplan und welche Informationen kann man ihm entnehmen?"
Wir begeben uns damit bereits recht weit auf das Gebiet der Dampfturbinen-Berechnung und der für sie geltenden Gesetze der Wärme- sowie der Strömungslehre. Es würde mich also nicht wundern, wenn dieses Thema nur einen sehr kleinen Kreis von Lesern findet. Ich werde mich jedoch bemühen, die Antwort so allgemeinverständlich, wie möglich zu formulieren.

Ich möchte zu Beginn auf die Erläuterungen in Antwort #1 dieses Beitrages vom 19.08.2010 mit dem zugehörigen Bild ,,Geschwindigkeiten und Winkel am Schaufeleintritt", sowie auf die Antwort #16 vom 25.08.2010 hinweisen.

Ausgangspunkt ist hiernach immer der Dampf und sein verfügbares Wärmegefälle, sprich seine Arbeitsfähigkeit.
Das Wärmegefälle des Dampfes wird in kcal/kg oder kJ/kg angegeben und besagt, wie viel nutzbare Wärmeenergie ein Kilogramm dieses Dampfes beinhaltet. Wir bleiben der Einfachheit halber weiter bei der alten Bezeichnung kcal (Kilokalorie).
Wir wissen, dass eine Energieform in eine andere übergehen oder umgewandelt werden kann.
Bei der Umwandlung von Wärme in mechanische Arbeit gilt: 1kcal = 427 kgm.
Man spricht hier auch vom mechanischen Wärmäquivalent.
Damit wollen wir es mit der Theorie aber auch wieder auf sich beruhen lassen und zur praktischen Anwendung kommen

In der Dampfturbine nutzen wir bekanntlich im Gegensatz zur Dampfmaschine nicht den Druck (ruhende Energie), sondern die Geschwindigkeit des Dampfes (Bewegungsenergie). Hierzu entspannen wir den Dampf in einer Düse. Die dabei frei werdende Energie beschleunigt den Dampf auf eine bestimmte Geschwindigkeit.
Nun müssen wir noch wissen, wie man den Wärmeinhalt i des Dampfes, bzw. das für die Berechnungen wichtige Wärmegefälle h ermittelt und in welcher Beziehung es zur Dampfgeschwindigkeit c₀ steht.
Das Wärmegefälle h entnimmt man Einfachsten dem Mollier- oder h-s-Diagramm. Seht hierzu ebenfalls Antwort #16 vom 25.08.2010.
Hier findest ihr auch die entsprechende Zahlenwertgleichung: c₀ (m/s) = 91,5 ∙ √ h (kcal/kg).

Ich darf noch einmal daran erinnern, dass es sich bei den Druckangaben im h-s-Diagramm um absoluten Druck (at_a) handelt; sie beziehen sich nicht auf den Umgebungsdruck, sondern auf das absolute Vakuum. Der Umgebungsdruck beträgt demnach etwa 1 at_a ≈ 1 bar_a.
Bei der Ermittlung des Wärmegefälles gehen wir Einfacherweise von Sattdampf, also vom absoluten Dampfdruck (Druck am Kesselmanometer plus 1 at) an der Sättigungslinie aus (...stark gezeichnet!) und zeichnen bei Auspuffbetrieb eine Senkrechte zum Umgebungsdruck (1at_a-Linie).
Mit einem Zirkel greifen wir die Länge dieser Senkrechten ab und entnehmen den Wert des Wärmegefälles dem abgedruckten Maßstab im h-s-Diagramm. Meistens kann man die Dampfgeschwindigkeit c₀ in m/s ebenfalls direkt dem Maßstab entnehmen (Bild 3 unten) oder aber man errechnet sie mit obiger Gleichung.

Übrigens: Lesern, die sich dafür interessieren, wie sich der Zahlenwert 91,5 zusammensetzt, sei gesagt, dass ähnlich einem Wasserfall, die ,,Fall" - Geschwindigkeit von der Höhe h und der doppelten Erdbeschleunigung g (9,81 m/s²) abhängt. Allerdings wird das Wärmegefälle nicht in m, sondern in kcal/kg angegeben. Wir müssen zur Umrechnung also das mechanische Wärmeäquivalent (427 kgm/kcal) einsetzen.
Danach ergibt sich: 91,5 = √ (2 • 9,81 • 427).

Nun wissen wir, dass die Umwandlung von Energie nie ohne Verluste geschieht. Das gilt auch in einer Düse bei der Umwandlung von ruhender Energie in Form von Druck in Bewegungsenergie in Form von Geschwindigkeit. An den Wänden des Düsenkanals, aber auch im Dampf selbst, entstehen Verluste durch Reibung und Verwirbelung der Dampfteilchen.
Im Modellbau kann man von etwa 10%, bei besonders hochwertiger Ausführung (Polieren) ggf. von 8% Düsenverlust ausgehen.
Das heißt: Die theoretische Dampfgeschwindigkeit c₀ mindert sich um die Düsenverluste zur tatsächlichen Dampfgeschwindigkeit c₁ am Düsenausgang.
Damit haben wir einen wichtigen Ausgangswert zur Erstellung eines Geschwindigkeitsplanes ermittelt.

Ein weiterer wichtiger Faktor ist die Umfangsgeschwindigkeit u des Turbinen-Laufrades.
Wir wissen aus den verschiedenen Beiträgen zu Dampfturbinen, dass das Verhältnis der Umfangsgeschwindigkeit u zur Dampfgeschwindigkeit c₁ großen Einfluss auf den Wirkungsgrad η (Eta) und somit auf die Leistung der Turbine und ihren Dampfverbrauch hat.
Bei einer einstufigen Gleichdruckturbine wird der höchste Wirkungsgrad bei einem Verhältnis u/c₁ = 0,5 erreicht.
Das ist vielleicht am einfachsten so zu erklären:
Ist die Umfangsgeschwindigkeit u gleich der Dampfgeschwindigkeit c₁, also u/c₁ = 1, kann der Dampf keine Kraft auf das Rad ausüben, der Wirkungsgrad ist 0. Das gilt auch bei stehendem Rad mit u = 0, entsprechend u/c₁ = 0. Die Kurve des Wirkungsgrades η_u in Abhängigkeit vom Verhältnis u/c₁ hat zwischen 1 und 0 die Form einer Parabel, deren Scheitelpunkt bei u/c₁ = 0,5 liegt. Ein Verhältnis u/c₁ > 1 ist unrealistisch; die Umfangsgeschwindigkeit u kann nicht größer werden, als die Dampfgeschwindigkeit c₁.

Die, physikalisch bedingt, noch immer recht hohen Dampfgeschwindigkeiten im Modellbau und die vergleichsweise geringen Abmessungen einer Modell-Dampfturbine erfordern allerdings Abstriche und Kompromisse hinsichtlich des erzielbaren Wirkungsgrades.

Auch der Düsenwinkel α₁ (Alpha) hat einen gewissen Einfluss auf den Wirkungsgrad; er hat in der Praxis Werte zwischen etwa 14⁰ und 30⁰.
Bei den einstufigen Turbinen wählt man eher kleinere und bei den mehrstufigen etwas größere Düsenwinkel.

Wie man die Umfangsgeschwindigkeit u des Rades ermittelt, werde ich kurz in Erinnerung rufen.
Wir errechnen zu erst den Umfang U (m,...in Metern!) aus dem Raddurchmesser d (m): U (m) = d (m) • π (Pi).
Die Drehzahl n in Umdrehungen pro Minute (1/min) teilen wir durch 60 und erhalten die Drehzahl in Umdrehungen pro Sekunde (1/s). Wir multiplizieren die Drehzahl (1/s) mit dem Umfang (m) und erhalten die Umfangsgeschwindigkeit u (m/s).
Hier noch mal als Gleichung: u (m/s) = (n (1/min) : 60) • U (m).

Die Dampfgeschwindigkeit c₁ und die Umfangsgeschwindigkeit u wirken an der Schaufelkante in verschiedene Richtungen und ergeben zusammen die relative Dampfgeschwindigkeit w₁ (...im Bild 1, orange). Der Dampf bekommt eine neue Richtung, den Dampf- bzw. Schaufel-Eintrittswinkel β₁ (Beta). Aber auch der, aus der Schaufel austretende Dampf bekommt durch das Zusammenwirken mit der Umfangsgeschwindigkeit u eine neue Richtung, den Dampf-Austrittswinkel α₂ mit der Austrittgeschwindigkeit c₂. Ich habe zum besseren Verständnis das bekannte Bild ,,Geschwindigkeiten und Winkel..." um die Austrittsseite ergänzt (Bild 1).

Zur Ermittlung der Dampfgeschwindigkeiten und deren Winkel, benutzen wir die Parallelogramme der Geschwindigkeiten (Bild 2, oben). Einige von Euch werden sich dabei an die Kräfte-Parallelogramme aus dem Physikunterricht erinnern.
Aus Gründen der Vereinfachung und der Übersichtlichkeit zeichnet man aber nicht vollständige Parallelogramme mit Schaufeln, sondern nur die Geschwindigkeitsdreiecke mit ihren Werten. Es ist auch nicht mehr üblich die Geschwindigkeitsdreiecke der Eintritts- und der Austrittsseite übereinander zu zeichnen, sondern man zeichnet sie nebeneinander (Bild 3).
Man benutzt zur Darstellung der Geschwindigkeiten einen geeigneten Maßstab. Wegen der Ablesegenauigkeit sollte er im Modellbau nicht kleiner als 0,25 mm für 1 m/s sein (100 mm entsprechen demnach 400 m/s).
Am Schnittpunkt einer Waagerechten als Rad-Ebene und einer Senkrechten als Achs-Ebene, trägt man in entsprechenden Längen und Winkeln die Geschwindigkeiten für den Schaufeleintritt und den Schaufelaustritt an. Bei mehrstufigen Turbinen wird für jede Stufe eine Rad-Ebene gezeichnet (Bild 3, oben).

Wir wählen also einen Düsenwinkel α₁ und ziehen unter diesem Winkel eine Linie von rechts oben nach links unten durch den Schnittpunkt von Rad- und Achs-Ebene. Im gewählten Maßstab tragen wir auf dieser Linie den Wert für die Düsenaustritt-Geschwindigkeit c₁ vom Schnittpunkt nach links ab. Am Ende der Strecke von c₁ zeichnen wir parallel zur Radebene den Wert für die Umfangsgeschwindigkeit u nach rechts. Wir verbinden das freie Ende der Strecke u mit dem Schnittpunkt und erhalten die relative Dampfgeschwindigkeit w₁ und den Schaufel-Eintrittswinkel β₁. Wir messen den Winkel β₁ und ermitteln den Wert von w₁ durch Messen und Umrechnen der Strecke.

Wir wählen den Schaufel-Austrittswinkel β₂ (...bei symmetrischen Schaufeln β₂ = β₁) und zeichnen unter diesem Winkel eine Linie durch den Schnittpunkt nach rechts.

Beim Durchströmen der Schaufeln entstehen ebenfalls Energieverluste durch Reibung und Verwirbelung der Dampfteilchen; sie sind im hohen Maße von den Schaufelwinkeln abhängig und sind umso größer, je stärker die Umlenkung ist, also die Schaufel gekrümmt ist. Auch die Qualität des Schaufelkanals spielt eine Rolle. Diese so genannten Schaufelverluste werden durch den Verlustbeiwert ψ (Psi) dargestellt.
Der Schaufel-Verlustbeiwert ψ beträgt etwa 0,8 bei einem Schaufelwinkel-Mittelwert von 20⁰ und etwa 0,9 bei 40⁰ (Zwischenwerte interpolieren!). Bei besonders hochwertiger Ausführung der Schaufelkanäle ist er ggf. auch um 0,05 besser.
Der Schaufelwinkel-Mittelwert ergibt sich aus: (β₁ + β₂) : 2

Den Wert der relativen Austritts-Geschwindigkeit w₂ erhalten wir demnach durch Multiplikation der relativen Dampfgeschwindigkeit w₁ mit dem Verlustbeiwert ψ. Wiederum als Gleichung: w₂ = w₁ • ψ.
Wir tragen die Strecke w₂ vom Schnittpunkt auf der Linie nach rechts ab. Am Ende der Strecke w₂ wird die Strecke u parallel zur Rad-Ebene nach links angelegt. Wir verbinden wieder das freie Ende von u mit dem Schnittpunkt und erhalten die Dampf-Austrittsgeschwindigkeit c₂ und den Dampf-Austrittswinkel α₂.

Bei einstufigen Modell-Dampfturbinen ist in der Regel die Austrittsgeschwindigkeit c₂ noch recht hoch. Man wird also ggf. versuchen, diese Bewegungsenergie des Dampfes in einer weiteren Stufe auszunutzen. Hierzu wird dieser Dampf in feststehenden Leitschaufeln umgelenkt und einem weiteren Lauf-Schaufelkranz oder bei Verwendung einer Leitkammer dem ersten Schaufelkranz wiederholt zugeführt (in Bild 2 unten, als Umlenkung bezeichnet). Für die Leitschaufeln und Leitkammern wird wiederum der Schaufel-Verlustbeiwert ψ ermittelt. Wir multiplizieren die Austrittsgeschwindigkeit c₂ der ersten Stufe mit diesem Verlustbeiwert ψ und erhalten die Dampf-Eintrittsgeschwindigkeit c'₁ der zweiten Stufe.

Der Eintrittswinkel der Leitschaufeln oder der Leitkammer entspricht dem Dampf-Austrittswinkel α₂ der ersten Stufe, deren Austrittswinkel dem Eintrittswinkel α'₁ der zweiten Stufe. Wegen der einfacheren Herstellung sollte man versuchen die Leitschaufel ebenfalls symmetrisch zu gestalten. Wir verfahren nun weiter wie bei der ersten Stufe.

Wir können nun dem fertigen Geschwindigkeitsplan die Ein- und Austrittswinkel der Lauf- und ggf. der Leitschaufel zur Konstruktion der Schaufelprofile und die Dampfgeschwindigkeiten zur Ermittlung der Durchström-Querschnitte entnehmen.

Aus den Umfangskomponenten w_1u und w_2u und ggf. bei Zweistufigkeit w'_1u und w'_2u (Bild 2) können wir das innere Wärmegefälle h_i ermitteln.
Das innere Wärmegefälle besagt, wie viel des zur Verfügung stehenden Wärmegefälles h, auch als theoretisches Wärmegefälle h_t bezeichnet, in mechanische Arbeit umgesetzt wird
Das Verhältnis h_i : h_t benennt uns den inneren Wirkungsgrad η_i der Dampfturbine.

Turbo-Georg · 29 Januar 2012, 20:48:12

Hier die Bilder zum obigen Beitrag.

Turbo-Georg · 27 Februar 2012, 15:37:15

Liebe Modellbaufreunde,
neben dem bis heute währenden Einsatz in Großkraftwerken, fand die Dampfturbine als Antrieb von Seeschiffen ein weiteres großes Anwendungsgebiet.
Obwohl sie zwischenzeitlich durch die wirtschaftlicheren Groß-Dieselmaschinen abgelöst wurde, ist sie ein wesentlicher Teil der technischen Seefahrtgeschichte.
Die Schiffsdampfturbine verdrängte seit dem Ende der ersten Dekade des vorigen Jahrhunderts mehr und mehr die Kolbendampfmaschine; zuerst als Antrieb von kleinen, schnellen Kriegsschiffen, später fand sie als Getriebeturbine, aufgeteilt auf mehrere Gehäuse, auch Einzug auf den großen Schiffseinheiten der Seestreitkräfte und schließlich der kommerziellen Schifffahrt. Dieser geschichtlichen Entwicklung sollten wir eigentlich auch im Schiffsmodellbau Rechnung tragen.

Die stiefmütterliche Behandlung der Dampfturbine als vorbildtreuer Antrieb eines Schiffsmodells, wird ihrer historischen Bedeutung nicht gerecht.
Die Gründe hierfür wurden bereits mehrfach erörtert. Neben der Komplexität der physikalischen Zusammenhänge, sind es vor Allem die oft fehlenden, technologischen Vorrausetzungen, die vor einer Realisierung zurückschrecken lassen.
Der zunehmende Einzug von CNC-Maschinen in die Hobbywerkstätten, bzw. die CNC-Fertigung als angebotene Dienstleistung, eröffnen neue Möglichkeiten bei der zweifellos handwerklich schwer realisierbaren Anfertigung der Schaufelräder einer optimierten Modelldampfturbine.

Wir haben im Beitrag ,,Die Dampfturbine im Modellbau" http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.0.html
die wichtigsten Kenngrößen einer Modelldampfturbine und ihrer Beziehungen zu einander kennen gelernt. Wir wissen auch, dass sich diese Kenngrößen gegenseitig beeinflussen bzw. von einander abhängen. Die Veränderung oder Abweichung einer Größe hat mitunter erhebliche Auswirkungen auf das Ergebnis. Das gilt vom Grundsatz sowohl für Turbinen des Großbetriebes, als auch für das Modell.
Es ist daher bei der Entwicklung und Konstruktion von Dampfturbinen wichtig, die Einfluss-Größen zu harmonisieren und für den optimalen Wirkungsgrad eines bestimmten Betriebszustandes aufeinander abzustimmen. In der Regel legt man diese optimierten Bedingungen für die Nennleistung und die Nenndrehzahl einer Dampfturbine fest.

Die zu Grunde liegenden Gesetze der Wärme- bzw. Strömungslehre gelten dabei sowohl für die Großturbine als auch das Modell. Allerdings nimmt die einschlägige Fachliteratur keinerlei Rücksicht auf die Belange des Modellbaues. In Ermangelung geeigneter Modell-Fachliteratur habe ich vor einigen Jahren versucht, die Berechnungs-Regeln des Großbetriebes zu vereinfachen, von unnötigem Ballast zu befreien und in einer verständlichen Form für den Modellbau zugänglich zu machen.

Trotz der weitgehenden Anwendung grafischer Berechnungs- und Konstruktionshilfen kommt man aber um einige Berechnungen nicht herum. Zur Lösung einiger notwendiger Gleichungen genügt aber ein gewöhnlicher Schul-Taschenrechner. Durch die Anwendung von so genannten Zahlenwert-Gleichungen wird die Berechnung sehr vereinfacht, da lediglich die von Anwendung zu Anwendung verschiedenen variablen Größen einzufügen sind.

Neben dem bekannten Mollier- oder h-s-Diagramm bildet der so genannte Geschwindigkeitsplan eines der wichtigsten grafischen Hilfsmittel zur Berechnung einer Modelldampfturbine.
Bei der Anleitung zur Erstellung eines Geschwindigkeitsplanes lernen wir auch die erste Zahlenwert-Gleichung kennen.

Ich bitte daher die FL um Verschiebung der Antwort # 35 vom 29.01.2012 in
http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.msg184094.html#new
nach hier.

t-geronimo · 27 Februar 2012, 15:47:36

Bitte erfüllt.

Und schön, dass Du weiter schreibst, auch wenn ich persönlich nur ein achtel verstehen werde.

Captain Hans · 27 Februar 2012, 21:27:58

na Georg wieder ein

Beitrag -ich lerne ununterbrochen

liebe Grüße

Hans

Turbo-Georg · 28 Februar 2012, 11:17:38

Hallo Freunde,
vorab nochmals meinen Dank an Thorsten.
Wir sollten uns durch die neue Reihenfolge beim Verschieben des oberen Beitrages nicht beirren lassen und unverzüglich mit der gemeinsamen Aufarbeitung dieses neuen Themas beginnen.
Ich möchte aber doch darauf hinweisen, dass es letztendlich eine Anfrage aus dem immer größer werdenden Kreis der Dampfturbinen-Freunde war, die hierzu den Anstoß gab.
Ich freue mich, dass es eben dieses Forum ist, wo ein solch anspruchsvolles Thema behandelt werden kann und damit einer noch kleinen Minderheit Plattform und Heimstatt bietet.

Wie bereits bei der Beschreibung des Geschwindigkeitsplanes angedeutet, werden wir den Weg erarbeiten, wie aus den hieraus entnommenen Werten der innere Wirkungsgrad, das innere Wärmegefälle sowie der spezifischen Dampfverbrauch ermittelt werden kann.
Wir werden für eine vorgegebene Turbinenleistung den Düsenquerschnitt, den effektiven Dampfverbrauch, sowie die erforderliche Verdampfungsleistung des Kessels berechnen.
An Hand von Beispielen werden die unterschiedlichen Dampfqualitäten und die Veränderungen des Dampfzustandes innerhalb des Prozesses, sowie deren Einfluss auf die Turbinenleistung dargelegt. Schließlich werden wir die Dampfdurchtritts-Querschnitte der Schaufeln und Leitvorrichtungen sowie deren Konstruktion behandeln. Wir werden dabei immer wieder auf die Erläuterungen im Beitrag ,,Die Dampfturbine im Modellbau" zurückgreifen.

Turbo-Georg · 29 Februar 2012, 13:29:25

Ermittlung des inneren Wärmegefälles h_i und des inneren Wirkungsgrades η_i
Diese beiden am Ende des o.a. Beitrages zum Geschwindigkeitsplan genannten Begriffe sind uns bereits aus der Behandlung der Verluste aus Antwort #16 vom 25.08.2010, http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.15.html bekannt.
Ich möchte trotzdem noch einmal darauf eingehen.
Wir wissen, dass die Umwandlung von einer Energieform in eine andere nie ohne Verluste von Statten geht. Die Verlustquellen in einer Dampfturbine sind nicht nur recht vielfältig, sonder auch von unterschiedlicher Natur. Die Verluste, die im Dampf selbst durch Reibung und Verwirbelung der Dampfteilchen auftreten, werden innere Verluste genannt und stellen sich bekanntlich im h-s-Diagramm als Minderung des verfügbaren theoretischen Wärmegefälles h_t dar; sie erhöhen durch die entstehende Verlustwärme die Temperatur des Dampfes. Die Physiker sprechen von Entropie-Zunahme.

Der Teil des verfügbaren Wärmegefälles h_t, der nach Abzug aller inneren Verluste letztendlich am Turbinenrad in mechanische Arbeit umgewandelt wird, nennt sich inneres Wärmegefälle h_i. Je größer das innere Wärmegefälle im Verhältnis zum theoretischen Wärmegefälle ist, umso mehr der verfügbaren Wärmeenergie wird in mechanische Arbeit umgewandelt. Dieses Verhältnis wird innerer Wirkungsgrad η_i genannt und ist ein Maß für die Güte der Turbine.
Es gibt grob gesagt, zwei Wege den Wert des inneren Wärmegefälles zu ermitteln.
Wir berechnen einzeln alle auftretenden Verluste und ziehen ihre Summe vom verfügbaren Wärmegefälle ab oder wir berechnen das innere Gefälle direkt aus den so genannten Umfangskomponenten der relativen Dampfgeschwindigkeiten. Diese Umfangskomponenten sind dem Geschwindigkeitsplan zu entnehmen.

Wir erinnern uns, dass früher im Geschwindigkeitsplan die Dampfgeschwindigkeiten am Eingang und am Ausgang der Schaufeln übereinander gezeichnet wurden. Das machte zwar die Darstellung etwas unübersichtlich, entsprach aber weitgehend den realen Gegebenheiten.
Wir betrachten noch einmal den Geschwindigkeitsplan einer einstufigen Turbine in Bild 2 oben.
Hier sind Schaufeleintritt und Schaufelaustritt nebeneinander gezeichnet und wir sehen jeweils darunter die Darstellung der Umfangskomponenten w_1u und w_2u.
Was es mit diesen Umfangskomponenten für eine Bewandtnis hat, lässt sich am einfachste durch die Darstellungen in Bild 4 verdeutlichen.
Die Austrittsseite (grau) denken wir uns von rechts um 180⁰ um die Achsebene nach links geklappt. Damit kommt sie über der Eintrittsseite (schwarz) zu liegen (Bild 4 oben).
Von der umgeklappten Austrittsseite wurden zur besseren Übersicht bis auf die Komponente w_2u alle Benennungen entfernt. So können wir erkennen, dass alle Dampfgeschwindigkeiten in Drehrichtung wirken
Wir entfernen weiterhin Alles, bis auf die relativen Dampfgeschwindigkeiten w₁ und w₂.
Nun können wir diese, unter ihren jeweiligen Winkeln verlaufenden Geschwindigkeiten wiederum durch Parallelogramme in ihre in Achsrichtung bzw. in Drehrichtung (Umfang) verlaufenden Komponenten zerlegen (Bild 4 unten).
Die Achskomponenten w_1a und w_2a haben im Modell-Turbinenbau eine untergeordnete Bedeutung.
Die Umfangskomponenten w_1u und w_2u hingegen sind von äußerster Wichtigkeit, denn addiert besagen sie, welche Bewegungsenergie des Dampfes am Radumfang wirksam ist.
Die Länge der Umfangskomponenten wird gemessen und dem Maßstab entsprechend in Dampf-Geschwindigkeit (m/s) umgerechnet (siehe Bild 3 oben).
Diese Bewegungsenergie (m/s) des Dampfes lässt sich in die adäquate Wärmeenergie (kcal/kg) umrechnen; wir sprechen dann vom inneren Wärmegefälle h_i.
Hierfür gilt die Gleichung:

u
h_i (kcal/kg) = ———— • (w_1u + w_2u + ...) (u und w in m/s)
4189

u = Umfangsgeschwindigkeit am Schaufelkranz.
Der Zahlenwert ergibt sich aus Erdbeschleunigung g mal Wärmeäquivalent:
9,81 • 427 = 4189.

Das Verhältnis inneres Wärmegefälle zum theoretischen Wärmegefälle stellt den inneren Wirkungsgrad dar; man spricht auch vom Wirkungsgrad am Radumfang.
Als Gleichung: η_i = h_i : h_t.

Um den Einfluss der verschiedenen Größen auf den inneren Wirkungsgrad zu verdeutlichen, empfehle ich zur Übung einige Geschwindigkeitspläne mit veränderten Werten zu zeichnen.
In den vorwiegend einfachen Düsen der Modell-Dampfturbinen lassen sich Wärmegefälle von 22 bis 25 kcal/kg verarbeiten, ohne den kritischen Druck zu überschreiten.

Informationen über Dampf-Düsen findet ihr im Beitrag ,,Schiffs-Dampfturbinen" unter Antwort #5 vom 17.10.2010.
http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,13029.0.html

Diese Wärmegefälle entsprechen nach Abzug der Düsenverluste einer Dampfgeschwindigkeit c₁ von etwa 400 m/s (Bild 3 oben). Bei den Übungen legen wir diese Dampf-Geschwindigkeit zu Grunde.
Für die Umfangsgeschwindigkeit setzen wir u = 80 m/s ein. Das entspricht einem mittleren Schaufelkranz-Durchmesser von etwa 80 mm bei einer Drehzahl von 20.000 ¹/min.

Wir verändern den Düsenwinkel α₁ und stellen fest, dass bei kleinerem Düsenwinkel auch die übrigen Winkel kleiner werden und sich die Umfangskomponenten w_1u und w_2u vergrößern. Das bedeutet größeres inneres Wärmegefälle und höherer Wirkungsgrad, obwohl auch der Umlenkwinkel der Schaufeln und damit der Schaufel-Verlust größer wird.

Bei unseren weiteren Übungen verändern wir bei gleich bleibender Dampfgeschwindigkeit c₁ und gleichem Düsenwinkel α₁, die Umfangsgeschwindigkeit u, also Raddurchmesser oder Drehzahl. Wir stellen fest, dass der Wirkungsgrad bei einem Verhältnis u/c₁ = 0,5 sein Maximum erreicht (Bild 5, Düsenwinkel α₁ ≈ 17⁰).

Auf diese Einflüsse von Düsenwinkel α₁ und Geschwindigkeits-Verhältnis u/c₁ auf den Wirkungsgrad η_i wurde bereits hingewiesen.

Turbo-Georg · 01 März 2012, 18:16:39

Der innere spezifische Dampf-Verbrauch d_i
Bei unseren Übungen legten wir in etwa Modellbau gerecht, eine Düsen-Austritts-Geschwindigkeit c₁ = 400 m/s und eine Umfangsgeschwindigkeit
u = 80 m/s zu Grunde.
Das ergibt ein Geschwindigkeits-Verhältnis u/c₁ = 0,2.
Entsprechend der Kurve in Bild 5 wäre der Wirkungsgrad am Radumfang η_u bzw. der innere Wirkungsgrad η_i ≈ 0,5.
Dieser Wert wird durch die Ergebnisse unserer Übungen nahezu bestätigt.
Das heißt: Mit den Gegebenheiten des Modellbaues sind bei einstufigen Dampfturbinen unter günstigsten, also optimierten Bedingungen innere Wirkungsgrade von ≈ 0,5 erreichbar; leicht nach oben bzw. unten abweichend.

Das bedeutet, dass lediglich ≈ 50 % der verfügbaren Wärmeenergie des Dampfes in mechanische Arbeit umgewandelt werden. Die Gründe hierfür liegen weitgehend in der recht hohen Austritts-Geschwindigkeit c₂.
Wenn wir die Geschwindigkeitspläne der Bilder 2 und 3 betrachten, stellen wir fest, dass etwa die Hälfte der Bewegungsenergie (m/s) von c₁ über die Austrittsgeschwindigkeit c₂ verloren geht.
Eine Verbesserung des Wirkungsgrades wäre demnach nur durch Änderung des Verhältnisses u/c₁ in Richtung 0,5 möglich.
Wie die zweite Hälfte unserer Übungen zeigte, bedeutet das aber große, für den Modellbau kaum praktikable Raddurchmesser oder Umfangs-Geschwindigkeiten, mit denen durch die auftretenden Fliehkräfte schnell die Grenzen der Material-Beanspruchung erreicht werden.

Auch bei einem Schiffsmodell mit Dampfturbinen-Antrieb erwarten wir eine für Schaufahrten ausreichend lange Fahrzeit. Die Betriebzeiten der modernen Hochleistungs-Akkus bei Modellen mit Elektro-Antrieb können hierfür allerdings kein Maßstab sein.
Aber selbst bei einigen Zugeständnissen muss letztendlich das zu verdampfende Wasser in ausreichender Menge mitgeführt werden. Wird das Volumen des Kessel für eine solche Wassermenge ausgelegt oder das verdampfte Wasser wird durch Nachspeisung des Kessels aus einem Zusatztank oder ggf. einem Kondensat-Sammler ausgeglichen, bedeutet das in jedem Fall Bedarf an Raum und das Tragen von Gewicht.

Das oberste Gebot bei der Konstruktion einer Modell-Dampfturbine ist demnach die Erzielung eines hohen Wirkungsgrades und damit eines möglichst niedrigen Dampfverbrauchs. Hierfür bieten sich verschiedene konstruktive Lösungen und Maßnahmen.
Um deren Effizienz untereinander vergleichen zu können, betrachten wir jeweils ihren spezifischen Dampfverbrauch d.
Er besagt, wie viel Kilogramm Dampf von der jeweiligen Turbine pro Kilowatt benötigt werden.
Wir errechnen ihn aus dem inneren Wärmegefälle h_i. Bekanntlich ist 1kWh = 860 kcal.
Als Gleichung:

Spezifischer Dampfverbrauch d_i (kg/kWh) = 860 : h_i (kcal/kg)

Turbo-Georg · 02 März 2012, 18:19:54

Der effektive spezifische Dampf-Verbrauch d_e und die Dampfverbrauchs-Menge G
Wenn wir das innere Gefälle h_i zur Berechnung des spezifischen Dampfverbrauchs aus den Umfangskomponenten des Geschwindigkeitsplans ermitteln, werden nicht alle inneren Verluste erfasst.
Wir nennen ihn daher zur Unterscheidung den inneren spezifischen Dampfverbrauch d_i.
Im Geschwindigkeitsplan werden die Radreibungs- und Ventilationsverluste nicht dargestellt und natürlich ebenso wenig die so genannten äußeren Verluste.
Die Verluste wurden in ,,Die Dampfturbine im M...." unter Antwort # 16 vom 25.08.2010 beschrieben.
http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.15.html

Die Spaltverluste und die Verluste durch Radreibung sind bei den Drücken und Abmessungen des Modellbaus vernachlässigbar.
Die Ventilationsverluste können durch geeignete Maßnahmen (Ventilationsschutz-Ringe) in Grenzen gehalten werden.

Die etwas schwierige Berechnung dieser Verluste ersparen wir uns und setzen u.U. einen Schätzwert ein.
Die Höhe dieser Verluste kann 5% bis 10% vom theoretischen Wärmegefälle h_t betragen und muss von Fall zu Fall beurteilt werden. Sie hängt von der Bauart der Turbine, sowie der Qualität von Konstruktion und Ausführung ab.
Um bei den weiteren Berechnungen diese Verluste nicht völlig unberücksichtigt zu lassen, empfehle ich gerne den ,,goldenen Mittelweg".
Wir mindern also ggf. das innere Gefälle h_i um 7,5 % des theoretischen Wärmegefälles h_t und setzen bei unseren weiteren Berechnungen den geminderten Wert ein.
Den hieraus ermittelten spezifischen Dampfverbrauch nennen wir den effektiven spezifischen Dampfverbrauch d_e.

Wenn wir eine von uns gewünschte Turbinen-Leistung N zu Grunde legen, können wir mit Hilfe des effektiven spezifischen Dampfverbrauchs d_e die zu erwartende Dampf-Verbrauchsmenge in Gramm pro Sekunde G_sek ermitteln.
Hier die Gleichung:

d_e (kg/kWh) • N (W)
G_sek (g/s) = ——————————
3600

Diese Gleichung wurde zur Vereinfachung auf die Leistungen des Modellbaus in Watt (W) umgestellt.

Turbo-Georg · 05 März 2012, 16:56:32

Die Kontinuitätsgleichung von Bernoulli
Mit der Dampfmenge G_sek haben wir eine wichtige Größe zur Berechung einer Modell-Dampfturbine, aber auch zur Dimensionierung des Kessels ermittelt.
Bei der Dampfturbine benötigen wir diesen Wert zur Berechnung der Durchström-Querschnitte des Dampfes.
Das sind bei einer einstufigen Modell-Dampfturbine, der Düsenquerschnitt, u.U. der Querschnitt der Schaufelkanäle und der Querschnitt des Dampf-Austritts. Bei z.B. einer Turbine mit zwei Geschwindigkeits-Stufen durch Wiederbeaufschlagung des Laufrades, würden wir darüber hinaus mit ihrer Hilfe den Ein- bzw. Austrittsquerschnitt der Umlenkkammer (Leitkammer) ermitteln.
Wir bedienen uns hierzu der so genannten Kontinuitäts- bzw. Stetigkeitsgleichung von Bernoulli.
Ich habe schon früher versucht, diese Gleichung möglichst leicht verständlich zu erklären, so unter Antwort # 24 vom 25.08.2011.
http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.15.html

Die Kontinuitätsgleichung besagt demnach, dass in einem System mit unterschiedlichen Querschnitten die, in einem Zeitintervall durch jeden Querschnitt F fließende Menge G gleich ist.
Bei inkompressiblen Flüssigkeiten mit ihrer konstanten Dichte bedeutet das, dass die jeweiligen Produkte aus Querschnittsfläche F und Strömungsgeschwindigkeit c gleich sind:

G = F1 • c1 = F2 • c2 = F3 • c3 = .... = konst.

Bei kompressiblen Gasen kann sich beim Durchströmen eines Systems das Volumen ändern. So auch bei unserem Wasserdampf.
Das bedeutet:
Beim Durchströmen der Turbine verringern sich durch Expansion (Prozess) oder Temperaturverlust der Druck p und die Dampfdichte γ (Gamma).
Wir rechnen mit dem Kehrwert (1/x) der Dichte γ, dem spezifischen Volumen v.
Somit gilt folgende Gleichung:

G ∙ v = F ∙ c

Wobei G die Menge, v das spezifische Volumen, F die Querschnittsfläche und c die Strömungsgeschwindigkeit ist.

Durch die geleistete Arbeit und die Strömungsverluste in der Turbine ändert sich aber neben dem Dampfzustand (v) auch die Dampfgeschwindigkeiten c (m/s). Diesen verringerten Geschwindigkeiten und dem höherem spezifischen Volumen muss durch Vergrößerung der Durchtritts-Querschnitte ausreichend Raum geschaffen werden.
Die von uns gesuchten Abmessungen der jeweilig durchströmten Querschnittsflächen F (mm²) der Düsen und Kanälen einer Modell-Dampfturbine, ergeben sich nach Umstellung der Gleichung aus:

G_sek (g/s) ∙ v (m³/kg) ∙ 1000
F (mm²) = _____________________________
c (m/s)

Für die Geschwindigkeit c und das spezifische Dampfvolumen v setzen wir jeweils die Werte am Austritt einer Düse oder eines Kanals ein.
Die entsprechenden Geschwindigkeiten c werden errechnet oder dem Geschwindigkeitsplan entnommen. Das spezifische Volumen v entnehmen wir direkt einem h-s-Diagramm mit Volumenlinien oder nach Ermittlung des jeweiligen Stufen-Druckes p, dem etwas genaueren p-v-Diagramm.
Die Gleichung ist besonders wichtig für die Berechnung des Düsenquerschnitts F_min der im Modellbau vorwiegenden einfachen Düsen.

Turbo-Georg · 07 März 2012, 17:15:11

Ermittlung des spezifischen Dampfvolumens v aus dem h-s-Diagramm
Wir wissen, dass das spezifische Dampfvolumen v vom Druck, aber auch von anderen Zustandsgrößen des Dampfes, wie dem Wärmeinhalt i, dem Dampfgehalt x und der Überhitzungs-Temperatur t_ü abhängt. Das heißt, er verändert sich innerhalb des Prozesses.

Wasserdampf-Tafeln geben lediglich über das feste, spezifische Volumen v'' des Sattdampfes Auskunft und sind damit für unsere Berechnungen nur bedingt geeignet.
Ein so genanntes p-v-Diagramm wäre zwar genauer, steht aber in der Regel für die niedrigen Drücke des Modellbaues nicht mit ausreichender Auflösung zur Verfügung.
In einem h-s-Diagramm mit Volumenlinien können wir die Abhängigkeit des spezifischen Dampfvolumens v vom Dampfdruck p und dem Dampfzustand erkennen.
Benutzen wir ein h-s-Diagramm mit Volumenlinien, können wir recht einfach und mit ausreichender Genauigkeit das jeweilige spezifische Dampfvolumen eines Punktes der Expansionslinie ermitteln. Werte zwischen den Volumenlinien erhalten wir ggf. durch Interpolieren.

In einem h-s-Diagramm kann bekanntlich der Prozessverlauf (Expansionslinie) in einer Dampfturbine dargestellt werden.
Siehe Antwort # 16 vom 25.08.2010 http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.15.html

Bild 6 zeigt den bereits aus obigen Link bekannten Ausschnitt aus dem h-s-Diagramm mit dem Expansions-Verlauf in einer Modell-Dampfturbine.
Die Linien und Werte des spezifischen Dampfvolumens (m³/kg) wurden hier zur Verdeutlichung in rot angelegt.
Gleichzeitig wurde der Punkt A (Betriebsdruck p₁ = 1,7 at_a) von der Sattdampflinie in den Überhitzungs-Bereich (t_ü = 125⁰ C) verschoben.
Es handelt sich hier um eine Dampfturbine für Auspuff-Betrieb (Enddruck p₀ = 1 at_a, also atmosphärischer Umgebungsdruck).
Wie wir erkennen können, wird durch die Überhitzung des Betriebsdampfes sicher gestellt, dass der Abdampf (Punkt A₄) noch oberhalb der Sattdampflinie liegt und damit frei ist, von Leistung minderten Kondensat (x = 1).

Am Wichtigsten ist für uns aber zu diesem Zeitpunkt, dass wir für jeden Punkt der Expansionslinie das jeweilige Dampfvolumen ablesen können.
So sehen wir Beispielweise, dass sich das spezifische Volumen des Betriebsdampfes p₁ von etwa 1,1 m³/kg am Punkt A (Düseneingang) im Laufe der Expansion auf etwa 1,7 m³/kg am Punkt A₁ (Düsenausgang) erhöht.
Damit verfügen wir über die letzte, noch fehlende Größe zur Bestimmung der Querschnitts-Flächen.

Turbo-Georg · 11 März 2012, 15:00:53

Der Düsenverlust h_d und die Ermittlung des Dampfzustandes am Punkt A₁
Im Modell-Dampfturbinenbau kommen in der Regel nur so genannte einfache Düsen zum Einsatz. Dafür gibt es folgende Gründe:
Bei den vergleichsweise kleinen Turbinenleistungen des Modellbaus sind die hierfür benötigten Dampfmengen so gering, dass sich zwangsläufig entsprechend kleine Düsenquerschnitte ergeben. Man gerät sehr schnell an die Grenzen der Herstellbarkeit.
Noch schwieriger würde sich demnach die Herstellung von erweiterten Düsen gestalten.
Erweiterte Düsen (Laval-Düsen) kommen erst bei größeren Wärmegefällen (> 25 kcal/kg) zum Einsatz. Größere Wärmegefälle bedeuten aber auch höhere Dampfgeschwindigkeiten.

Nun wissen wir aber aus Antwort #5 vom 17.10.2010, Bild 3, http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,13029.0.html
dass sich die Dampfteilchen in einfachen Düsen nur bis zu einem bestimmten Druckverhältnis p₁/p₀ beschleunigen lassen. An der Mündung einer Düse, bzw. an ihrem kleinsten Querschnitt F_min, stellt sich immer nur ein bestimmter Minimal-Druck ein, Laval- oder kritischer Druck p_k genannt.
Damit der Dampf in einem verwirbelungsfreien Strahl (laminar) aus einer einfachen Düse austreten kann, muss der kritische Druck p_k gleich, oder kleiner als der Gegendruck p₀ sein,.
Für Sattdampf oder leicht überhitzten Dampf gilt: Kritische Druck p_k = p₁ ∙ 0,58.

Wir emitteln den kritischen Druck p_k für Auspuff-Betrieb, also Gegendruck p₀ = 1 at_a (atmosphär. Umgebungsdruck):

p_k = p₁ ∙ 0,58 → p_k = p₀ → p₁ = p₀ : 0,58 → p₁ = 1 at_a : 0,58 = 1,72 at_a

Das hierbei theoretisch verfügbare Wärmegefälles h_t von ca. 22 kcal/kg zeigt Bild 6.

Auf die Strömungsverluste im Düsenkanal sind wir bereits kurz eingegangen. Sie vermindern bekanntlich die theoretische Dampfgeschwindigkeit c₀ auf die Düsen-Austrittsgeschwindigkeit c₁.
Im Großbetrieb werden diese Düsenverluste durch den Düsenkoeffizient φ (Phi) dargestellt,
der hat im Großbetrieb die Werte:

φ = 0,93 ... 0,95 (gegossene Düsen, 7 bis 5 %)
φ = 0,95 ... 0,97 (gefräste Düsen, 5 bis 3 %).

Wegen der kleinen Düsenquerschnitte und dem ungünstigen Verhältnis zwischen Querschnitt und Wandflächen dürfte der Wert im Modellbau trotz sorgfältigster Ausführung eher bei etwa 10 bis 8 % liegen, also:

φ = 0,90 ... 0,92.

Dieser Verlust an Dampfgeschwindigkeit (c₁ = c₀ ∙ φ) lässt sich wiederum in den adäquaten Wärmeenergieverlust h_d (kcal/kg) umrechnen.
Hierfür gilt die Gleichung:

h_d = (1 – φ²) ∙ h_t (kcal/kg).

Ziehen wir den Düsenverlust h_d vom theoretischen Wärmegefälle h_t unten ab, erhalten wir den Punkt A₁ der Expansionslinie im h-s-Diagramm
(Bild 6).
Der, dem Düsenverlust h_d entsprechende Teil des theoretisch verfügbaren Wärmegefälles h_t wurde in Schallenergie und Reibungswärme verwandelt und geht für die Umwandlung in mechanische Arbeit verloren. Die Reibungswärme hat jedoch den Zustand des Dampfes verändert. Die Verlustwärme hat den Wärmeinhalt i des entspannten Dampfes etwas erhöht; der Dampf ist trockener geworden (x = 0,985).
Ähnlich verhält es sich mit den anderen Verlusten (Punkte A₂ bis A₄). Welche Bedeutung sie für uns haben und wie man sie ermittelt, werden wir noch behandeln.
Das spezifische Dampfvolumen v hat am Punkt A₁ gegenüber Punkt A₀ marginal abgenommen. Seine weiteren geringfügigen Veränderungen bis zum Dampfaustritt bei A₄, sind bei einer einstufigen Modell-Dampfturbine vernachlässigbar.
Wir setzen daher bei unseren Querschnitts-Berechnungen in jedem Fall den Wert am Düsenausgang A₁ ein (v = 1,7 m³/kg).

Turbo-Georg · 20 März 2012, 14:19:27

Die weiteren Schaufelungsverluste
Mit dem Oberbegriff Schaufelungsverluste bezeichnet man die Summe der Düsen-, Schaufel und Austrittsverluste.

Den Düsenverlust haben wir oben behandelt. Auf die Ermittlung der weiteren Verluste und damit der Punkte A₂ bis A₄ gehen wir in diesem Abschnitt nur der Vollständigkeit wegen ein. Ihre Berechnung ist bei einstufigen Modell-Dampfturbinen u.U. entbehrlich, da wir hier in der Regel das innere Wärmegefälle h_i (Punkt A₄) nicht durch Addition der Einzelverluste ermitteln, sondern mit Hilfe der Umfangskomponenten w._u des Geschwindigkeitsplanes. Darüber hinaus benutzen wir ggf. lediglich den Wert des spezifischen Dampfvolumens v am Punkt A₁ zur Ermittlung von Durchtrittsquerschnitten.

Wir wissen bereits, dass beim Durchströmen der Schaufeln ebenfalls Energieverluste entstehen und sie durch den Verlustbeiwert ψ (Psi) dargestellt werden.
Sie bewirken ähnlich der Düsenverluste eine Minderung der verfügbaren Strömungsenergie und eine Änderung des Dampfzustandes.
Dieser Verlust an Dampfgeschwindigkeit lässt sich ebenfalls in den adäquaten Wärmeenergieverlust h_s (kcal/kg) umrechnen.
Wir verwenden hierzu die jeweilige Eintrittsgeschwindigkeit; bei einer einstufigen Turbine demnach die Geschwindigkeit w₁ des Geschwindigkeitsplanes.
Es gilt die Gleichung:

h_s = (w₁² : 8378) • (1 - ψ²) (kcal/kg).

Geschwindigkeit w₁ in m/s.
Zahlenwert: 8378 = 2 • 9,81 • 427.

Der Wert des Düsenverlustes h_s wird ebenfalls unten vom noch verfügbaren Wärmegefälle bei Punkt A₁ abgezogen und wir erhalten den Punkt A₂.

Bei mehrstufigen Turbinen ermittelt man die Verluste in den Lauf- und Leitschaufel einzeln, und zwar in der Reihenfolge der Durchströmung.
Das gilt sinngemäß auch für Turbinen mit wiederholter Beaufschlagung über Umlenk- bzw. Leitkammern, aber hierauf werden wir ggf. noch eingehen.

Mit Hilfe des so genannten Austrittverlustes h_a finden wir den Punkt A₃.

Der Dampf muss mit einer ausreichenden Restgeschwindigkeit die Turbine verlassen können.
Die ideale Austrittsgeschwindigkeit sollte bei mehrstufigen Modell-Dampfturbinen etwa 10 % des verfügbaren Wärmegefälles h_t nicht überschreiten und möglichst axial aus den Schaufeln austreten (siehe Bild 3, oben, Stufe 2 und 4).
Zwangsläufig muss man hier bei einer einstufigen Turbine deutliche Zugeständnisse machen.
Wir verwenden die Gleichung

h_a = c₂² : 8378 (kcal/kg)

und verfahren mit dem ermittelten Wert in bekannter Weise.

Den letzten Teil der Verluste bilden die oben bereits behandelten Spalt-, Radreibungs- und Ventilationsverluste.
Wir verzichten auf eine Berechnung und setzen hierfür ggf. einen Schätzwert ein, um den Punkt A₄ fest zulegen.

Im nächsten Beitrag werden wir als Beispiel eine einstufige Modell-Dampfturbine berechnen und neben der Düse auch die Form des Schaufelprofils konstruieren.

Turbo-Georg · 27 März 2012, 19:08:37

Berechnungsbeispiel
Für ein mittleres Modellschiff wählen wir eine einstufige, axiale Modell-Dampfturbine mit einfacher Düse für Auspuff-Betrieb und einer Leistung von etwa 20 Watt.
Wir lehnen uns dabei weitgehend an die bekannten Werte aus den obigen Übungen an. Die Expansionslinie, sowie deren Positionierung im h-s-Diagramm werden demnach in etwa mit Bild 6 übereinstimmen.

Wir legen also fest:

Einstufige Gleichdruck-Modell-Dampfturbine mit einfacher Düse.
Betriebsdruck p₁ = 1,7 at_a (überhitzt, t_ü = 125 ⁰C).
Gegendruck p₀ = 1 at_a (Auspuffbetrieb).
Theoretisches Wärmegefälle h_t = 22 kcal/kg
Laufrad-Durchmesser am Schaufelfuß D_F ≈ 75 mm*.
Drehzahl n = 20.000 ¹/min.
Leistung N = 20 W.

*) ...der genaue Rad-Durchmesser ergibt sich durch Schaufelteilung und Schaufellänge!

Wir ermitteln als erstes die Umfangsgeschwindigkeit u; gemeint ist damit die mittlere Umfangsgeschwindigkeit des Schaufelkranzes. Das heißt auf halber Schaufellänge.
Im Modellbau sollte aus strömungstechnischen Gründen (Verhältnis Kanalquerschnitt zu Wandflächen) die Schaufellänge l = 2,5 mm nicht unterschritten werden.
Wir addieren zum Schaufelfuß-Durchmesser D_F eine Schaufellänge l und erhalten den mittleren Schaufelkranz-Durchmesser D_M.

D_M = D_F + l = 75 mm + 2,5 mm = 77,5 mm.

Der mittlere Schaufelkranz-Umfang U_M ist demnach:

U_M = D_m • π = 77,5 • 3,14 = 243 mm ≈ 0,24 m.

Umfangsgeschwindigkeit u beträgt:

u (m/s) = (n (¹/min) : 60) • U_M (m) = (20.000 : 60) • 0,24 = 80 m/s.

Wir berechnen die Dampfgeschwindigkeit c₁ bei einem Düsen-Verlustbeiwert φ = 0,93:

c₁ = (91,5 • √ h_t (kcal/kg)) • φ = (91,5 • √ 22) • 0,93 = (91,5 • 4,6) • 0,93 ≈ 400 m/s.

Wir wählen den Düsenwinkel α₁ = 17⁰ und zeichnen den Geschwindigkeitsplan (Bild 7).

Wir messen einen Schaufel-Eintrittswinkel β₁ = 20⁰ und eine relative Dampfgeschwindigkeit w₁ = 324 m/s.
Wir entscheiden uns für symmetrische Schaufeln; damit ist auch der Winkel β₂ = 20⁰.
Hieraus ergeben sich:

Schaufelwinkel-Mittelwert: β' = (β₁ + β₂) : 2 = 20⁰, Schaufel-Verlustbeiwert: ψ = 0,8.

und errechnen:

Relative Dampfgeschwindigkeit w₂ = w₁ • ψ = 324 • 0,8 = 259 m/s.

Dampf-Austrittsgeschwindigkeit c₂ = 188 m/s, Dampf- Austrittswinkel α₂ = 30⁰.

Aus den beiden Umfangskomponenten errechnen wir das innere Wärmegefälle h_i.

h_i = (u : 4189) • (w_1u + w_2u ) = (80 : 4189) • (304 + 244) = 0,019 • 548 = 10,46 kcal/kg.

Wir runden wegen der Radreibungs- und Ventilationsverluste auf h_i = 10 kcal/kg und ermitteln:

Wirkungsgrad η_i = h_i : h_t = 10 : 22 = 0,45.

Turbo-Georg · 29 März 2012, 18:34:08

Der Vollständigkeit halber, aber auch zur Übung berechnen wir die einzelnen Schaufelungsverluste und übertragen ihre Werte in das h-s-Diagramm in Bild 8.

Wir rechnen:
Düsenverlust:
h_d = (1 – φ²) ∙ h_t = (1 - 0,93²) • 22 = (1 - 0,865) = 0,135 • 22 = 2,97 ≈ 3 kcal/kg.

Wir verfahren in bekannter Weise und finden Punkt A₁.

Schaufelverlust:
h_s = (w₁² : 8378) • (1 - ψ²) = (3242 : 8378) • (1 - 0,82) = 12,53 • 0,36 = 4,5 kcal/kg.

Wir finden Punkt A₂.

Austrittverlust:
h_a = c₂² : 8378 = 1882 : 8378 = 35344 : 8378 = 4,2 kcal/kg.

Entsprechend Punkt A₃.

Wir sehen, dass die Addition der Verluste im h-s-Diagramm, mit dem geschätzten Wert für Radreibung und Ventilation letztendlich zum gleichen Ergebnis (Punkt A₄) führt, wie die vereinfachte Methode, den Wert des inneren Gefälles aus dem Geschwindigkeitsplan zu ermitteln.
Zum besseren Verständnis wurden die einzelnen Werte an den Maßstab des Wärmegefälles angetragen.

Die nächsten Schritte wären die Ermittlung des effektiven, spezifischen Dampfverbrauchs d_e und der Dampfverbrauchsmenge G_sek.

d_e = 860 : h_i (kcal/kg) = 860 : 10 = 86 kg/kWh.

G_sek = (d_e • N_Watt) : 3600 = (86 • 20) : 3600 = 1720 : 3600 = 0,48 g/s.

Mit der umgestellten Bernoulli-Gleichung berechnen wir erst den Düsen-Querschnitt, um danach den Schaufelkanalquerschnitt festzulegen.

Düsen-Querschnitt:
F_min = (G_sek ∙ v ∙ 1000) : c₁ = (0,48 • 1,7 •1000) : 400 = 816 : 400 = 2,04 ≈ 2 mm².

Zur Vermeidung von Kantenstößen sollte die Düsenkanalhöhe a etwa 0,5 mm kleiner sein als die Schaufellänge l. Bei einer Mindest-Schaufellänge
l = 2,5 mm ist demnach a = 2 mm und bei einem Querschnitt F_min = 2 mm² die Düsenkanalbreite b = 1 mm (Bild 9).

Wie uns Bild 9 weiterhin zeigt, sollten aus gleichem Grund auch die Öffnungen des Dampfaustritts oder der Dampfeintritt einer Leitkammer angeschrägt werden.

Wir haben nunmehr die Abmessungen des Düsenkanals festgelegt. Bevor wir jedoch zur Bemessung und Konstruktion der Schaufeln kommen, sollten wir an Hand von Bild 10 noch einige neue Begriffe bestimmen.

Neben den bereits bekannten Winkeln α und β und der oben genannten Düsenhöhe a sowie der Düsenbreite b sind das vorrangig:

Schaufelkanalbreite e,
Krümmungsradius r,
Rückenradius r',
Schaufelteilung T_S.

Die Schaufelbreite ergibt sich bei der Konstruktion des Schaufelprofils.
Die Querspalte hängen von der Wärmeausdehnung ab, sollten jedoch so klein wie möglich gehalten werden; in der Praxis sind das etwa 0,3 bis 0,5 mm, je nach technologischen Möglichkeiten.
Werden die Schaufeln nicht per CNC gefertigt, sondern konventionell, so ist eine geeignete Schaufelbefestigung nötig, die erfordert in der Regel eine größere Schaufeldicke.

Bild 10 zeigt weiterhin, dass bei der Verwendung eines Ventilationsschutzes der Dampfaustritt dem Winkel α₂ entsprechen sollte, um Ausströmhindernisse zu Vermeidung.

Demnächst konstruieren wir das Schaufel-Profil.